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八（第2页）

通过添加一个函数f的oracle公式，“f（a）=b”，意味着序列的ath和bth成员满足f（a）=b，对于Rayo函数中微语言的定义，我们有Rayo中的微语言修改版。使用修改版微语言定义函数RR（f），微语言中新公式集为：

“a∈b“意思是序列里的ath成员是序列里的bth成员的元素。“a=b“意味着序列里的ath成员等于序列里的bth成员。对于公式e，“（?e）“是对e的否定。对于公式e和f，“（e∧f）“，表示逻辑和运算。“?a（e）“表明我们可以修改序列里的ath成员，使公式e为真。“f（a）=b“意味着序列里的ath和bth成员满足关系式f（a）=b。

序数α，Rα（n）的Rayo层次定义为R?（n）=n；R???（n）=RR（R?）（n）（如果α是一个后继）；R?（n）=R????（n）（如果α是一个极限并且α[n]是其基本序列的一个元素）

因此R?（n）与Rayo的功能不相上下，R?（n）类似于Rayo的函数，但使用实现R?（n）的微语言作为oracle。它已经比Rayo函数的典型简单扩展强大得多，例如Rayo???????（n），或在f?定义为Rayo函数而不是n+1那里快速增长的等级变体中的fε?（n）。R?（n）将R?（n）作为oracle，比R?（n）强的多。将Fish函数6中的m（0，2）的定义更改为m（0，2）=RR就得到了Fish函数7。

因此m（0，2）m（0，1）（x）≈R?（x）；m（0，2）2m（0，1）（x）≈R?（x）；m（0，2）3m（0，1）（x）≈R?（x）；m（0，3）m（0，2）m（0，1）（x）≈R_ω（x）

增长率的计算与F?类似，除了FGH变为Rayo的层次。F?（x）的定义与增长率为:F?（x）:=m（x，2）m（x，1）（x）≈R_ζ0（x）

最终Fishnumber7被定义且近似为:F?:=F?3?（101??）≈R?3_ζ0（101??）

提升Fishnumber7倍！

还不够！接着提！

一阶oodle理论的语言被定义为集合论的语言，用符号“&”对集合论的语言加以扩充就得到一阶oodle理论。oodle理论的论域由oodles组成，这些oodle们服从Tarski对集合论真理的定义。我们把“∈-传递”的oodle称为oodinal，并且用∈作为它们之间的排序关系。Foot函数与oodle理论的关系类似于Rayo数与集合论的关系。因为所有涉及的结构都是话语宇宙的元素，BigFoot与一阶集合论在力量上是等价的，只有一个真理谓词相连。

提升BigFoot倍！

继续！

使用语言（∈，?，＜），其中已定义符号是相等的。∈，?和＜是二元谓词，通过它们定义一元函数F和R。定义Sasquatch为最大的数k使得在语言{?，Q}中存在许多一元公式Φ其中（Q（a，b）←→R（a）=b））的数量级≤12↑↑12使得彐!a（Φ（a））∧Φ（k）。

提升Sasquatch（BigBigeddon）倍！

接着提！

通过将一元函数符号U添加到具有可数个变项符号和集合隶属关系符号∈的一阶集合论语言中，定义语言L。将ZFL定义为属于ZF集合论公理的L-公式的集合，ZFL中分离和替换的公理模式由所有的L-公式参数化，也就是能包含U的公式。

使用明确的哥德尔对应关系，将可数个常项符号、可数个函数符号、可数个关系符号和一个新的一元函数符号Θ添加到L的明确的形式中，来定义一阶逻辑的形式语言L。然后用ZFCL表示属于ZFC集合论公理的L-公式集，ZFCL中分离和替换的公理模式由所有的L-公式参数化，也就是能包括U的形式化的公式，附加常项符号、附加函数符号、附加关系符号和Θ。明确编码ε0和L-公式下的序数为ZFL中的自然数，并形式化了Henkin公理“如果存在一个满足P的x，则Θ（n）满足P”，对于每个变项符号x，每个具有代码n的L-公式P通过重复后继运算形式化为ZFCL，用ZFCHL表示由Henkin公理模式扩展的理论ZFCL。新的函数符号Θ作为“一个Henkin常数族”。不要混淆基础理论ZFL和形式化理论ZFCHL。用U1表示L-公式“对于任何序数α，U（α）?ZFCHL”。在{U1}扩展的ZFL下，U（α）形成ZFCL的一个模型，并因此形成了任何序数α的L-结构，用U????表示U在U（α）中的解释。用U2表示L-公式“对于任意序数α和任意β∈α，U????（β）=U（β）”，通过U3可得L-公式“对于任意序数α，存在一个序数β，使得|U（α）|=Vβ，并且对于任何x∈Vβ和任何y∈Vα，x∈????y等价于x∈y”，其中Vβ表示冯诺伊曼层次。定义T为L-公式的集合ZFL∪{U1，U2，U3}。

通过给ZFC集合论中的每个原子公式xi∈xj分配L-公式（xi∈xj）∧（xj∈U（0）），理论T可看作ZFC集合论的扩展。集合N在ZFC集合论中的定义是在U（0）处作为T中的项，因U（0）是ZFCL的传递模型，其与在ZFL下定义的项N一致。因此能在ZFC集合论中定义的大数在理论T中也成立，并形成一个大数项。此外，由于L允许可数无限个常项符号、函数符号和关系符号，即使通过在ZFC集合论中添加可数个常项符号、函数符号和关系符号得到一个理论中的闭公式，得到的闭公式也在U（0）处作为T中的闭公式。此外，通过给未排序MK集合论中的每个原子公式xi∈xj分配L-公式（xi∈xj）∧（xj∈U（0）），理论T可看作是MK集合论推广。粗略地说，U（0）在形式上作为一阶集合论的宇宙，U（0）的幂集在形式上作为二阶集合论和一阶类理论的宇宙，并且它的幂集在形式上作为三阶集合论的宇宙。自从它们都被包含在U（1）中，U在形式上作为高阶集合论的宇宙的严格递增序列。严格递增序列的存在性可以在Grothendieck宇宙公理扩展的ZFC集合论中构造。

明确定义满射：CNF:N→ε0；i?CNF（i）使用康托尔范式。对于L-公式P，用IsDefinition（P）表示L-公式“存在一个x，使得P和对于任何i，（P）[ix]意味着i=x“。用Definable（m，i，P）表示L-公式“i∈N，P是L-公式，U（CNF（i））?IsDefinition（P），并且U（CNF（i））?（P）[mx]“，其中（P）[mx]中的m以明确的方式被视为参数。对于n∈N，定义f（n）作为m∈N的总和，满足i∈n，P∈n，和Definable（m，i，P），通过这种方式，就得到了一个无法计算的大函数f:N→N;n?f（n）。从这里开始，大数花园数是f1?（10↑1?10）

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