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我们以前提过集合,今天就来好好讨论一番。大家都知道整数集z、实数集R、虚数集I和复数集C,大家听过状态集吗?木头和瓶子就是固态集的,而水和酒就是液态集的。木头和瓶子是同态的,而木头和水就是异态的。还有多边形型、数型、字母型,你们听过吗?多边形型就是多边形数集合,数型就是纯粹的数的集合。而字母型指的就是语言。说了这么多,不知大家有什么感受?埃斯皮诺萨说着。
小尼说:你漏了数列型。虽然集合和数列是同胚的,但是数列涉及的和集合涉及的是完全不同的。集合本来就可以包纳万物的,数列自然不能逃脱被集合化的命运。
函数集合化是一种集合对函数的渗透,体现的是集合的包容性。我们知道函数有定义域,而集合化就是说集合也要有定义域。不过,函数的略微不同。集合的分为两种。一种是元素重复限制。为什么要如此呢?这里涉及了净元素。我在以前提过净元素的定义,所以这里就不再继续说明了。这里还要说一个概念就是重复元素。元素重复限制下也叫重复元素限制,具体就是限制重复元素的数量。另一种是元素范围。元素范围对计算集合的大小有非常突出的贡献,可以说是不可或缺的。对于区间式集合如集合a={x|x-3<1}就是没有必要的。而对于列举式集合,元素范围就是有必要明确的。
函数有奇偶性,那么集合自然也应该有奇偶性。集合的奇偶分为两种。一种是整体奇偶,另一种是元素奇偶。那么什么是整体奇偶呢?如集合a={-3,-2,-1,1,2,3}就是整体奇偶中偶集合,如集合b={1,3,5,7}就是元素奇偶中的奇集合。同样地,集合也有单调性。上面两个集合都是前一个元素比后一个元素小,所以单调性就是单调递增。
艾丽西亚说:我知道集合和抽象代数中的环论有关,但是我不打算讨论环论。至于整数环、多项式环,就不是我要提及的了。
小尼的两个集合都是朝着数轴的右边,所以它们是同向的。而且它们在自己集合内部也是同向的。如果一个集合有单调性,那么它一定是自同向的。而有单调性的集合就是有序的,但是有序的集合不一定有单调性。如集合{-1,1,-1,1}就是有序的,但不是单调的。上面的集合就是有序中的偏序,而集合b就是有序中的顺序。两个有序的集合就可以形成一个有序对。
区间式集合并不等于列举式集合。
从集合的角度来看,线就是点集。同样地,图形也可以看成是点集。如果要求不规则图形的面积,描点法的确是不错的选择。图形还可以看成是线的集合,因此画线法求面积也是不错的。说到面积,就要说积分和增量。可以说,增量是面积问题中核心。以前,我就想正方形的面积为什么是边的平方,而不是边的的四次方。我想不出答案,你们知道吗?
两人都摇头说:不知道。求面积可以说是可以和解方程媲美的数学难题,其中牵涉的是数学的核心。以我们的水平,还不足以讨论这样的大问题。
埃斯皮诺萨说:明天继续。
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